88.
Naći četvrtu apotomu.
Uzmimo racionalnu duž A i duž BH samerljivu po dužini sa A. Tada je i duž BH racionalna. Uzmimo dva broja DZ, ZE i to tako da ceo broj DE ne stoji u odnosu prema svakom od brojeva DZ i ZE kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. I načinimo tako da DE prema EZ bude kao kvadrat na BH prema kvadratu na HG. Stoga će kvadrat na BH biti samerljiv sa kvadratom na HG. No kvadrat na BH je racionalan, znači racionalan je i kvadrat na HG. Pa prema tome je racionalna i duž HG. I pošto DE ne stoji u odnosu prema EZ kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, ni kvadrat a BH ne stoji u odnosu prema kvadratu na HG kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Znači BH je nesamerljivo po dužini na HG. A oba su racionalna. Prema tome BH i HG su racionalne duži samerljive samo u stepenu. Na ovaj način BG je apotoma.
(Tvrdim da je baš četvrta).
Neka ono čime je kvadrat na BH veći od kvadrata na HG bude kvadrat na Q. Pošto je sad DE prema EZ kao kvadrat na BH prema kvadratu na HG, to je, posle zamene jednog člana drugim, ED prema DZ kao kvadrat na HB prema kvadratu na Q. No ED ne stoji prema DZ u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači ni kvadrat na HB ne stoji prema kvadratu na Q kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome je duž BH nesamerljiva po dužini sa Q. I kvadrat na BH je veći od kvadrata na HG za kvadrat na Q. Znači kvadrrat na BH je veći od kvadrata na HG za kvadrat na duži nesamerljivoj sa BH. I cela duž BH je samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži A. Prema tome BG je četvrti apotoma.
Na ovaj način je nađena četvrta apotoma. A to je trebalo dokazati.