90.

Naći šestu apotomu.

Uzmimo racionalnu duž A i tri broja E, BG, GD koji nisu među sobom u odnosu kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Neka ni GB ne bude prema BD kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. I načinimo tako da E prema BG bude kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH i BG prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ.
Pošto je sad E prema BG kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH, biće kvadrat na A samerljiv sa kvadratom na ZH. No kvadrat na A je racionalan. Znači i kvadrat na ZH je racionalan. Prema tome je racionalna i duž ZH. I pošto E nije prema BG kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, neće ni kvadrat na A prema kvadratu na ZH biti u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Prema tome A nije samerljivo po dužini sa ZH. Zatim, pošto je BG prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće kvadrat na ZH samerljiv sa kvadratom na HQ. No kvadrat na ZH je racionalan, pa prema tome je racionalan i kvadrat na HQ. Znači racioalna je i duž HQ. I pošto BG ne stoji u odnosu prema GD kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, ni kvadrat na ZH ne stoji prema kvadratu na HQ u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Prema tome ZH i HQ su racionalni i samerljivi samo u stepenu. Na ovaj način ZQ je apotoma.
Tvrdim da je baš šesta.
Zaista, pošto je E prema BG kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH, a BG je prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće, zbog jednakoudaljenosti, E prema GD kao kvadrat na A prema kvadratu na HQ. No E ne stoji prema GD u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju, pa ni kvadrat na A ne stoji u odnosu prema kvadratu na HQ u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Prema tome A nije samerljivo po dužini sa HQ. Znači ni jedna od duži ZH i HQ nije samerljiva po dužini sa racionalnom duži A. Neka sad ono čime je kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ bude kvadrat na K. Pošto je sad BG prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće posle zamene jednog dela drugim, GB prema BD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na K. No GB ne stoji prema BD kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, pa prema tome ni kvadrat na ZH nije prema K kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Znači ZH nije samerljivo po dužini sa K. I kvadrat na ZH je veći od kvadrata na HQ za kvadrat na K. Na ovaj način kvadrat na ZH je veći od kvadrata na HQ za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa ZH. I obe duži ZH i HQ nesamerljive su po dužini sa datom racionalnom duži A. Prema tome je ZQ šesta apotoma.
Na ovaj način je nađena šesta apotoma ZQ. A to je trebalo dokazati.